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黄金分割点 黄金分割点:世界上最美的点!

发布时间:2019-09-14 16:00 来源:学霸数学 关键词:黄金分割点
黄金分割点:世界上最美的点!
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原文标题:黄金分割点:世界上最美的点!
原文发布时间:2018-01-24 02:15:50
原文作者:学霸数学。
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黄金分割点

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定义:把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值,则这个比值即为黄金分割。其比值是(√5-1):2,近似值为0.618,通常用希腊字母Ф表示这个值。

附:黄金分割数前面的32位为:0.6180339887 4989484820 458683436565

设一条线段AB的长度为a,C点在靠近B点的黄金分割点上,且AC为b,则a比b就是黄金数

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黄金分割的发现与推广:

在古希腊时期,有一天毕达哥拉斯走在街上,在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听,于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律,这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。

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尺规作图公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯学派。

1、设已知线段为AB,过点B作BD⊥AB,且B

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图示

BD=AB/2

2、连结AD

3、 以D为圆心,DB为半径作弧,交AD于E

4、以A为圆心,AE为半径作弧,交AB于C,则点C即为黄金分割点

在一个黄金矩形中,以一个顶点为圆心,矩形的较短边为半径作一个四分之一圆,交较长边于一点,过这个点,作一条直线垂直于较长边,这时,生成的新矩形仍然是一个黄金矩形,这个操作可以无限重复,产生无数个的黄金矩形.

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黄金分割的扩展:

1.设

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为黄金比,便有

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。然后有

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,得

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。对等式右边分母中的

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又以

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代替,可得

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;以此类推,可得无穷连分数。对等式进行类似的代替,可得无穷连根号。

2.昨天有分析过斐波那契数列,

经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。由于斐波那契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,而黄金分割是无理数,所以只是不断逼近黄金分割。

3.黄金三角形:

所谓黄金三角形是一个等腰三角形,其底与腰的长度比为黄金比值,正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度(即2*sin(π/10))。

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将一个正五边形的所有对角线连接起来,在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的,所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。

黄金分割的应用:

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,这一比值能够引起人们的美感,被认为是建筑和艺术中最理想的比例。此外在股市中黄金分割线的应用十分广泛,有兴趣的朋友可以研究研究,说不定可以发财致富哦.

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画家们发现,按0.618:1来设计的比例,画出的画最优美,在达·芬奇的作品《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、还有《最后的晚餐》中都运用了黄金分割。而现今的女性,腰身以下的长度平均只占身高的0.58,因此古希腊的著名雕像断臂维纳斯及太阳神阿波罗都通过故意延长双腿,使之与身高的比值为0.618。建筑师们对数字0.618特别偏爱,无论是古埃及的金字塔,还是巴黎的圣母院,或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔,希腊雅典的巴特农神庙,都有黄金分割的足迹。

优选法中的应用:

0.618法(黄金分割法)

0.618法就是采用上面的思路来选取x1和x2的:

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不失一般性,假定(a,b)区间是(0,1),即f(x)在(0,1)区间上有单峰极值,选取得两个点x1,x2分别记为x和1-x,即在x和1-x两点进行实验,不妨假定保留下来的是(0,x)区间。

继而在(0,x)区间上两个点x^2和(1-x)x处做实验,如果x^2=1-x,那么上次在1-x处的实验就可以派上用场,节省一次实验,而且舍去的区间是原来区间1-x的一部分。故有x^2+x-1=0,可以解得

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第一次选择0.382(b-a),0.618(b-a),若保留了(0,0.618),由于0.618*0.618=0.382,因此下一轮只需要在0.618*0.382=0.216处做另一次实验,0.382的实验结果在上一轮中得出,减少了计算量,每次消去的区间还大。

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这个其实在生活中用处是挺大的,例如要你猜一个数字,你不用一个一个猜,可以从给定数字范围的0.618处开始.可以减少猜的次数哦,不信可以试试哦!


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原文发布时间:2018-01-24 02:15:50
原文作者:学霸数学。

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